Разбор 9 задания ЕГЭ по информатике

• Используем формулу нахождения объема:
I = M x N * i
• Подсчитаем каждый сомножитель в формуле, стараясь привести числа к степеням двойки:
• M x N:

160 * 160 = 20 * 2³ *  20 * 2³ = 400 * 26 = 
= 25 * 24 * 26

• Нахождение глубины кодирования i:

256 = 28 
т.е. 8 бит на пиксель  (из формулы кол-во цветов = 2i)

• Находим объем:

I = 25 * 24 * 26 * 23 = 25 * 213 - всего бит на всё изображение

• Переводим в Кбайты:

(25 * 213) / 213 = 25 Кбайт

Результат: 25

• По формуле объема файла изображения имеем:
I = M * N * i
• где M * N — общее количество пикселей. Найдем это значение, используя для удобства степени двойки:

128 * 256 = 27 * 28 = 215

• В вышеуказанной формуле i — это глубина цвета, от которой зависит количество цветов в палитре:
Количество цветов = 2ⁱ
• Найдем i из той же формулы:

i = I / (M*N)

• Учтем, что 24 Кбайт необходимо перевести в биты. Получим:

23 * 3 * 210 * 23:
i = (23 * 3 * 210 * 23) / 215 = 
= 3 * 216 / 215 = 6 бит

• Теперь найдем количество цветов в палитре:

26 = 64 вариантов цветов в цветовой палитре

Результат: 64

• По формуле объема файла изображения имеем:
I = N * i

где N — общее количество пикселей,
а i — глубина кодирования цвета (количество бит, выделенное на 1 пиксель)

• i можно найти, зная количество цветов в палитре:
количество цветов = 2ⁱ

до преобразования: i = 8 (28 = 256)
после преобразования: i = 2 (22 = 4)

• Составим систему уравнений на основе имеющихся сведений, примем за x количество пикселей (разрешение):

I = x * 8
I - 18 = x * 2

• Выразим x в первом уравнении:

x = I / 8

• Подставим во второе уравнение и найдем I (объем файла):

I - 18 = I / 4
4I - I = 72
3I = 72
I = 24

Результат: 24

• По формуле объема файла изображения имеем:
I = N * i

где N — общее количество пикселей или разрешение,
а i — глубина цвета (количество бит, выделенное на 1 пиксель)

• В такого рода задачах необходимо учесть, что уменьшение разрешения в 2 раза, подразумевает уменьшение в 2 раза пикселей отдельно по ширине и по высоте. Т.е. в целом N уменьшается в 4 раза!
• Составим систему уравнений на основе имеющихся сведений, в которой первое уравнение будет соответствовать данным до преобразования файла, а второе уравнение — после:

42 = N * i
I = N / 4 * 4i

• Выразим i в первом уравнении:

i = 42 / N

• Подставим во второе уравнение и найдем I (объем файла):

\[ I= \frac {N}{4} * 4* \frac {42}{N} \]

• После сокращений получим:

I = 42

Результат: 42

• По формуле скорости передачи файла имеем:
V = I / t

где I — объем файла, а t — время

• По формуле объема файла изображения имеем:
I = N * i

где N — общее количество пикселей или разрешение,
а i — глубина цвета (количество бит, выделенное на 1 пиксель)

• Для данной задачи, необходимо уточнить, что разрешение на самом деле имеет два сомножителя (пикселей по ширине * пикселей по высоте). Поэтому при увеличении разрешения в два раза, увеличатся оба числа, т.е. N увеличится в 4 раза вместо двух.
• Изменим формулу получения объема файла для города Б:

\[ I= \frac {2*N * i}{3} \]

• Для города А и Б заменим значения объема в формуле для получения скорости:

Город А:

\[ V= \frac {N*i}{72} \]

Город Б:

\[ 3*V= \frac{\frac {4*N*i}{3}}{t} \]

или:

\[ t*3*V= \frac {4*N*i}{3} \]

• Подставим значение скорости из формулы для города А в формулу для города Б:

\[ \frac {t*3*N*i}{72}= \frac {4*N*i}{3} \]

• Выразим t:

t = 4 * 72 / (3 * 3) = 32 секунды

Результат: 32

• Количество цветов зависит от глубины кодирования цвета, которая измеряется в битах. Для хранения кадра, т.е. общего количества пикселей выделено 900 Кбайт. Переведем в биты:

900 Кбайт = 22 * 225 * 210 * 23 = 225 * 215

• Посчитаем общее количество пикселей (из заданного размера):

1024 * 768 = 210 * 3 * 28

• Определим объем памяти, необходимый для хранения не общего количества пикселей, а одного пикселя ([память для кадра]/[кол-во пикселей]):

\[ \frac {225 * 2^{15}}{3 * 2^{18}} = \frac {75}{8} \approx 9 \]

9 бит на 1 пиксель

• 9 бит — это i — глубина кодирования цвета. Количество цветов = 2ⁱ:

29 = 512

Результат: 512

• По формуле объема файла изображения имеем:
I = N * i

где N — общее количество пикселей или разрешение, а i — глубина кодирования цвета (количество бит, выделенное на 1 пиксель)

• Посмотрим, что из формулы нам уже дано:

I = 320 Кбайт, 
N = 640 * 420 = 307200 = 75 * 212 всего пикселей, 
i - ?

• Количество цветов в изображении зависит от параметра i, который неизвестен. Вспомним формулу:
количество цветов = 2ⁱ
• Поскольку глубина цвета измеряется в битах, то необходимо объем перевести из Килобайт в биты:

320 Кбайт = 320 * 210 * 23 бит  = 320 * 213 бит

• Найдем i:

\[ i = \frac {I}{N} = \frac {320 * 2^{13}}{75 * 2^{12}} \approx 8,5 бит \]

• Найдем количество цветов:

2i = 28 = 256

Результат: 256

• По формуле объема файла изображения имеем:
I = N * i

где N — общее количество пикселей или разрешение, а i — глубина кодирования цвета (количество бит, выделенное на 1 пиксель).

• Так как по заданию имеем разрешение, выраженное в пикселях на дюйм, то фактически это означает:
I = значение ppi² * N * i
• Формула количества цветов:
количество цветов = 2ⁱ
• Посмотрим, что из формулы нам уже дано до экономного варианта и при экономном варианте:

Неэкономный вариант:
I = 5 Мбайт = 5 * 223 бит, 
N - ?, 
i - ?
300 ppi

Экономный вариант:
I = 512 Кбайт = 29 * 213 бит = 222 бит, 
N - ?, 
i = 4 бит (24 = 16)
150 ppi

• Так как в экономном режиме нам известны все составляющие формулы, кроме разрешения (N), то найдем разрешение:

N = I / (i * 150*150 ppi)
N = 222 / (4 * 22500)

• Подставим все известные значения, включая найденное N, в формулу для неэкономного режима:

I = N * 300*300 ppi * i
5 * 223 = (222 * 300 * 300 * i) / (22500 * 4);

• Выразим i и вычислим его значение:

i = (5 * 223 * 22500 * 4) / (222 * 300 * 300) = 9000 / 900 = 10 бит

• По формуле нахождения количества цветов в палитре имеем:

210 = 1024

Результат: 1024

• По формуле объема звукового файла получим:
I = β * t * ƒ * S
• Из задания имеем:

I= 7500 Кбайт
β= 32 бита
t= 30 секунд
S= 4 канала

• ƒ — частота дискретизации — неизвестна, выразим ее из формулы:

\[ ƒ = \frac {I}{S*B*t} = \frac {7500 * 2^{10} * 2^3 бит}{2^7 * 30}Гц = \frac { 750 * 2^6}{1000}КГц = 2^4 = 16 \]

2⁴ = 16 КГц

Результат: 16

• Для решения понадобится формула нахождения скорости передачи данных формулы:
V = I/t
• Вспомним также формулу объема звукового файла:
I = β * ƒ * t * s

где:
I — объем
β — глубина кодирования
ƒ — частота дискретизации
t — время
S — кол-во каналов (если не указывается, то моно)

• Выпишем отдельно, все данные, касающиеся города Б (про А практически ничего не известно):

город Б: 
β - в 2 раза выше
ƒ - в 3 раза меньше
t - 15 секунд, 
пропускная способность (скорость V) - в 4 раза выше

• Исходя из предыдущего пункта, для города А получаем обратные значения:

город А: 
βБ / 2
ƒБ * 3
IБ / 2
VБ / 4
tБ / 2, tБ * 3, tБ * 4  -  ?

• Дадим объяснения полученным данным:
• так как глубина кодирования (β) для города Б выше в 2 раза, то для города А она будет ниже в 2 раза, соответственно, и t уменьшится в 2 раза:

t = t/2

• так как частота дискретизации (ƒ) для города Б меньше в 3 раза, то для города А она будет выше в 3 раза; I и t изменяются пропорционально, значит, при увеличении частоты дискретизации увеличится не только объем, но и время:

t = t * 3

• скорость (V)(пропускная способность) для города Б выше в 4 раза, значит, для города А она будет ниже в 4 раза; раз скорость ниже, то время выше в 4 раза (t и V — обратно пропорциональная зависимость из формулы V = I/t):

t = t * 4

• Таким образом, с учетом всех показателей, время для города А меняется так:

\[ t_А = \frac {15}{2} * 3 * 4 \]

90 секунд

Результат: 90

• Вспомним формулу объема звукового файла:
I = β * ƒ * t * S

I — объем
β — глубина кодирования
ƒ — частота дискретизации
t — время
S -количество каналов

• Выпишем отдельно, все данные, касающиеся первого состояния файла, затем второго состояния — после преобразования:

1 состояние:
S = 2 канала
I = 30 Мбайт

2 состояние:
S = 1 канал
β = в 2 раза выше
ƒ = в 1,5 раза ниже
I = ?

• Так как изначально было 2 канала связи (S), а стал использоваться один канал связи, то файл уменьшился в 2 раза:

I = I / 2

• Глубина кодирования (β) увеличилась в 2 раза, то и объем (I) увеличится в 2 раза (пропорциональная зависимость):

I = I * 2

• Частота дискретизации (ƒ) уменьшилась в 1,5 раза, значит, объем (I) тоже уменьшится в 1,5 раза:

I = I / 1,5

 

• Рассмотрим все изменения объема преобразованного файла:

I = 30 Мбайт / 2 * 2 / 1,5 = 20 Мбайт

Результат: 20

• Вспомним формулу объема звукового файла:
I = β * ƒ * t * S


I — объем
β — глубина кодирования
ƒ — частота дискретизации
t — время

• Выпишем отдельно, все данные, касающиеся файла, переданного в город А, затем преобразованного файла, переданного в город Б:

А:
t = 100 c.

Б:
β = в 3 раза выше
ƒ = в 4 раза ниже
t = 15 c.

 
✎ 1 способ решения:
 

• Скорость передачи данных (пропускная способность) зависит от времени передачи файла: чем больше время, тем ниже скорость. Т.е. во сколько раз увеличится время передачи, во столько раз уменьшится скорость и наоборот.
• Из предыдущего пункта видим, что если мы вычислим, во сколько раз уменьшится или увеличится время передачи файла в город Б (по сравнению с городом А), то мы поймем, во сколько раз увеличится или уменьшится скорость передачи данных в город Б (обратная зависимость).
• Соответственно, представим, что преобразованный файл передается в город А. Объем файла изменился в 3/4 раза (глубина кодирования (β) в 3 раза выше, частота дискретизации (ƒ) в 4 раза ниже). Объем и время изменяются пропорционально. Значит и время изменится в 3/4 раза:

 tA для преобразов. = 100 секунд * 3 / 4 = 75 секунд

• Т.е. преобразованный файл передавался бы в город А 75 секунд, а в город Б 15 секунд. Вычислим, во сколько раз снизилось время передачи:

75 / 15 = 5

• Раз время передачи в город Б снизилось в 5 раз, соответственно, скорость увеличилась в 5 раз.

Ответ: 5
 
✎ 2 способ решения:
 

• Выпишем отдельно все данные, касающиеся файла, переданного в город А:

  А:
  tА = 100 c.
  VА = I / 100
  

• Поскольку увеличение или уменьшение во сколько-то раз разрешения и частоты дискретизации приводит к соответствующему увеличению или уменьшению объема файла (пропорциональная зависимость), то запишем известные данные для преобразованного файла, переданного в город Б:

Б:
β = в 3 раза выше
ƒ = в 4 раза ниже
t = 15 c.
IБ = (3 / 4) * I
VБ = ((3 / 4) * I) / 15

• Теперь найдем соотношение V_Б к V_А:

\[ \frac {V_Б}{V_А} = \frac {3/_4 * I}{15} * \frac {100}{I} = \frac {3/_4 * 100}{15} = \frac {15}{3} = 5 \]

(((3/4) * I) / 15) * (100 / I)= (3/4 * 100) / 15 = 15/3 = 5

Результат: 5

• Вспомним формулу объема звукового файла:
I = β * ƒ * t * S

I — объем
β — глубина кодирования
ƒ — частота дискретизации
t — время
S — количество каналов

• Для простоты расчетов пока не будем брать во внимание количество каналов. Рассмотрим, какие данные у нас есть, и какие из них необходимо перевести в другие единицы измерения:

β = 32 бита
ƒ = 32кГц = 32000Гц
t = 2 мин = 120 с

• Подставим данные в формулу; учтем, что результат необходимо получить в Мбайтах, соответственно, произведение будем делить на 2²³ (2³ (байт) * 2¹⁰ (Кбайт) * 2¹⁰(Мбайт)):

(32 * 32000 * 120) / 223 = 
=( 25 * 27 * 250 * 120) / 223 = 
= (250*120) / 211 = 
= 30000 / 211 = 
= (24 * 1875) / 211 =
= 1875 / 128 ~ 14,6

• Полученный результат значения объема умножим на 4 с учетом количества каналов связи:

 14,6 * 4 = 58,5

• Ближайшее число, кратное 10 — это 60.

Результат: 60

• По формуле объема звукового файла имеем:
I = β * ƒ * t * S

I — объем
β — глубина кодирования = 32 бита
ƒ — частота дискретизации = 48000 Гц
t — время = 5 мин = 300 с
S — количество каналов = 2 

• Подставим в формулу имеющиеся значения:

I = 48000 * 32 * 300 * 2

• Поскольку значения большие, необходимо числа 48000 и 300 выразить в степенях двойки:

48000 | 2
24000 | 2
12000 | 2
 6000 | 2     = 375 * 27
 3000 | 2
 1500 | 2
  750 | 2 
  375 | 2 - уже не делится
 187,5

300 | 2     = 75 * 22
150 | 2
 75 | 2 - уже не делится 
37,5

• Получим:

I = 375 * 75 * 215

• В предложенных вариантах ответа видим, что результат везде в Мбайт. Значит, необходимо разделить полученный нами результат на 2²³ (2³ * 2¹⁰ * 2¹⁰):

I = 375 * 75 * 215 / 223 = 28125 / 28

• Найдем приближенное к числу 28125 значение в степени двойки:

210 = 1024

1024  * 2
2048  * 2
4096  * 2
8192  * 2
16384 * 2
32768

• Получаем:

210 * 25 = 215 = 32768
210 * 24 = 214 = 16384

• Число 28125 лежит между этими значениями, значит берем их:

215 / 28 = 27 = 128
214 / 28 = 26 = 64

• Выбираем ответ, значение в котором находится между двумя этими числами: вариант 4 (110 Мбайт)

Результат: 4

• По формуле объема звукового файла имеем:
I = β * ƒ * t * S

I — объем
β — глубина кодирования = 32 бита
ƒ — частота дискретизации = 48000 Гц
t — время = 5 мин = 300 с
S — количество каналов = 2 

• Подставим в формулу имеющиеся значения. Для удобства будем использовать степени двойки:

ƒ = 4 кГЦ = 4 * 1000 Гц ~ 22 * 210
B = 64 бит = 26 / 223 Мбайт
t = 1 мин = 60 c = 15 * 22 c
S = 2

• Подставим значения в формулу объема звукового файла:

I = 26 * 22 * 210 * 15 * 22 * 21 / 223 = 15/4 ~ 3,75

• Ближайшее целое, кратное двум — это число 4

Результат: 4

• Посмотрим, как изменялись параметры файла до преобразования и после:

ДО:
ƒ = 120, 
i = 24 бит

ПОСЛЕ:
ƒ = 20, 
i = 8 бит (28 = 256)
t = 10 секунд
I = 512 Кбайт = 29 Кбайт

• Поскольку после преобразования количество кадров в секунду уменьшилось в 6 раз (120 / 20 = 6), а количество бит на пиксель уменьшилось в 3 раза (24 / 8 = 3), то и объем уменьшился в целом в 18 раз (6 * 3 = 18).
• Вычислим объем файла, передаваемого за 10 секунд, до его преобразования:

за 10 секунд: I * 18 = 29 * 18 Кбайт = (29 * 18) . 210 Мбайт = 9 Мбайт 

• Чтобы получить объем, переданный за 1 минуту, необходимо полученное значение умножить на 6:

за 1 мин: 9 * 6 = 54 Мбайт 

Результат: 54

• Вспомним формулу скорости передачи данных:
V = Q / t
* Вместо Q можно использовать обозначение I (для объема файла)

V - скорость
Q - объем
t - время

• Что нам известно из формулы (для удобства решения будем использовать степени двойки):

V = 128000 бит/с = 210 * 125 бит/с
t = 1 мин = 60 с = 22 * 15 с
1 символ кодируется 16-ю битами
всего символов - ?

• Если мы найдем, сколько бит необходимо для всего текста, тогда, зная что на 1 символ приходится 16 бит, мы сможем найти сколько всего символов в тексте. Таким образом, найдем объем:
Q = V * t

Q = 210 * 125 * 22 * 15 = 
= 212 * 1875 бит на все символы

• Когда мы знаем, что на 1 символ необходимо 16 бит, а на все символы 2¹² * 1875 бит, то можем найти общее количество символов:

кол-во символов = 212 * 1875 / 16 = 212 * 1875 / 24 = 
= 28 * 1875 = 480000 

Результат: 480000

• Вспомним формулу скорости передачи данных:
V = Q / t
* Вместо Q можно использовать обозначение I (для объема файла)

V - скорость
Q - объем
t - время

• Определим, что нам известно:

Вася: V = 217 бит/с
Петя: V = 216 бит/с
Общий объем Q = 8 Мбайт

• Для начала переведем объем в биты:

Q = 8Мбайт = 8 * 223 бит = 23 * 223 = 226 бит

• Также известно, что сначала 1024 Кбайта будут передаваться по скоростному каналу Васи со скоростью 2¹⁷ бит/с (примем за t1), а затем все 8 Мбайт будут передаваться по низкоскоростному каналу (примем за t2). Найдем время по двум промежуткам:
t = Q / V

t1 = 1024 Кбайт / 217 = 210 * 213 бит / 217 = 
= 210 / 24 = 64 с

t2 = 226 / 216 = 210 = 1024 c

• Найдем общее время:

t = t1 + t2 = 64 + 1024 = 1088

Результат: 1088

• Вспомним формулу скорости передачи данных:
V = Q / t
* Вместо Q можно использовать обозначение I (для объема файла)

V - скорость
Q - объем
t - время

• Отсюда получаем формулу для времени:
t = Q / V
• Для нахождения времени вычислим объем сообщения по формуле:
Q = N * i

N — общее количество пикселей или разрешение, 
i — глубина кодирования цвета (количество бит, выделенное на 1 пиксель)

Q = 4 * 480000 

• Теперь найдем время:

t = 4 * 480000 / 32000 = 60 секунд

Результат: 60

• Формула скорости передачи данных:
V = Q / t
* Вместо Q можно использовать обозначение I (для объема файла)

V - скорость
Q - объем
t - время

• При 1/3 t скорость (V) равна 60 Мбит/c
• При 2/3 t скорость(V) равна 90 Мбит/c
• Объем переданных данных выразим в Мбитах:
1 Мбайт = 8 Мбит

 Q = 9000 Мбайт * 8 = 72000 Мбит

• Из формулы выразим объем:
Q = V * T
• Так как общий объем данных у нас известен, получим уравнение:

(60 * 1/3t)  + (90 * 2/3t) = 72000
вынесем t за скобки, получим уравнение:
t * (20 + 60) = 72000
выразим t:
t = 72000 / 80 = 900 с = 15 мин

Результат: 15

Рассмотрим способ А:
• Сначала найдем объем документа, зная, что он составляет 20% от исходного:

Q (объем) = 5 Мбайт * 0.2 = 1 Мбайт = 1 * 223 бит

• Формула времени передачи данных:
t = Q / V

V - скорость
Q - объем
t - время

• Получим t с учетом времени на сжатие и распаковку:

t = Q / V + 7 + 1 = 8 + 223 / 218 = 8 + 25 = 40 c

Рассмотрим способ Б:

• Для этого способа можно сразу найти время (по формуле):

t = Q / V = 5 * 223 / 218 = 5 * 25 = 5 * 32 = 160 c

• Получаем, что способ А быстрее; вычислим насколько быстрее:

160 с - 40 с = 120 с

Результат: А120

Рассмотрим способ А:
• Сначала найдем объем документа, зная, что он составляет 20% от исходного:

Q (объем) = 20 Мбайт * 0.2  = 4 Мбайт = 22 * 223 бит  = 225 бит

• Формула времени передачи данных:
t = Q / V

V - скорость
Q - объем
t - время

• Найдем время для способа А с учетом времени на сжатие и распаковку:

tA = 225 / 220 + 17 с = 25 + 17 = 49 с

Рассмотрим способ Б:

• Сначала найдем объем документа, зная, что он составляет 10% от исходного:

Q (объем) = 20 Мбайт * 0.1  = 2 Мбайт = 21 * 223 бит  = 224 бит

• Найдем общее время с учетом потраченного времени на сжатие и распаковку:

tБ = 224 / 220 + 24 с = 24 + 24 = 40 с

• Получили, что второй способ (Б) быстрее. Выясним насколько быстрее:

49 - 40 = 9 с

Результат: Б9

• Выпишем исходные данные для двух состояний документа, используя неизвестное x для искомого параметра — объема:

неупакованный:

I1 = 45 Мбайт
t1 = 100 секунд (60 секунд + 40 секунд = 100)

упакованный:

I2 = x Мбайт
t2 = 20 секунд (30 секунд - 10 секунд = 20)

• Получим систему уравнений:

45 = 100
х = 20

• Выразим x, т.е. объем упакованного документа:

х = (45 * 20) / 100 = 9 Мбайт

Результат: 9