Разбор 16 задания ЕГЭ по информатике

На уроке рассматривается 16 задание, решение и объяснение ЕГЭ по информатике

Объяснение заданий 16 ЕГЭ по информатике

16 тема — «Операции в системах счисления» — характеризуется, как задания повышенного уровня сложности, время выполнения – примерно 2 минуты, максимальный балл — 1

С основами темы можно ознакомиться в теории к заданию 1.

Перевод числа из любой системы счисления в десятичную

Чтобы перевести, например, 10045N, из системы счисления с основанием N в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на N в степени, равной разряду этой цифры:
перевод в десятичную систему счисления

Особенности при переводах в разные системы счисления

Некоторые правила, которые нужно знать, при работе с системами счисления:
  • последняя цифра (крайняя справа) в записи числа в системе счисления с основанием N – представляет собой остаток от деления этого числа на N:
  • 710 = 1112
    7/2 = остаток 1
    
  • две крайние справа цифры числа в системе счисления с основанием N – это остаток от деления этого числа на , и так далее:
  • 710 = 1112
    112=310
    7/22 = остаток 310 (112)
    
  • десятичное число 10N записывается как единица и N нулей:
  • 1_1

  • тогда как десятичное число 2N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:
  • 2

  • а десятичное число 3N записывается в троичной системе в виде единицы и N нулей:
  • 2

  • можно сделать аналогичные выводы для любой системы счисления с основанием a; общее правило:
  • 3
  • десятичное 10N-1 записывается как N девяток:
  • 1_11

  • тогда как десятичное число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:
  • 3

  • а десятичное число 3N-1 записывается в троичной системе как N двоек:
  • объяснение 16 задания егэ

  • значит есть общее правило: число aN-1 в системе счисления с основанием a записывается как N старших цифр этой системы, то есть, цифр (a-1)
  • 1_1
  • десятичное число 10N-10M = 10M * (10N-M – 1) записывается как N-M девяток, за которыми стоят M нулей:
  • 1

  • тогда как десятичное число 2N – 2K при K < N в двоичной системе записывается как N – K единиц и K нулей:
  • 1

  • то есть, существует общее правило:
  • 1_11
  • Также следует знать, что верны равенства:
  • 1
    1_1
    1_11

Решение заданий 16 ЕГЭ по информатике


Задание 16 ЕГЭ по информатике 2017 ФИПИ вариант 3 (Крылов С.С., Чуркина Т.Е.):

Значение арифметического выражения:
21024 + 464 - 64
записали в системе счисления с основанием 2.

Сколько цифр "1" содержится в этой записи?


✍Решение:

  • Существует правило:
  • 2N = 10..02(1 единица и N нулей)
  • Чтобы воспользоваться этим правилом, преобразуем общее выражение к степеням двойки:
  • 21024 + (22)64 - 26 = 21024 + 2128 - 26
  • При переводе в двоичную систему получим:
  • 10...0 (1024 нуля) + 10...0 (128 нулей) - 10...0 (6 нулей)
  • Обратим внимание, что разница между числами большая. Т.е. при выполнении сложения в столбик, единицы в одном и том же разряде быть не могут. Так:
  •  10....00000  - 1024 нуля
    +
           10..0  - 128 нулей
    _________________________
     10....10..0  
    
  • Из первого слагаемого 10...0 (1024 нуля) запомним одну единицу в старшем бите, остальные нули нас не интересуют, так как далее мы воспользуемся другим правилом - для разницы:
  •  10....00000  - 1024 нуля
    +
           10..0  - 128 нулей
    _________________________
     10....10..0  - запомним единицу
    
  • Существует также правило:
  • 2N - 2K = 1...1 (N - K единиц)0...0(K нулей)
  • По формуле выполним вычитание 2128 - 26: получим 1..1 (122 единицы) 0..0(6 нулей):
  •  10..0000000  - 128 нулей
    -
         1000000  
    _________________________
     11..1000000  - 122 единицы и 6 нулей
    
  • Прибавим к 122 получившимся единицам еще одну из первого слагаемого (10...0 (1024 нуля)) и получим:
  • 122 + 1 = 123 единицы

Результат: 123

Также можно посмотреть видео решения 16 задания ЕГЭ по информатике 2017:


Задание 16 ЕГЭ по информатике 2017 ФИПИ вариант 5 (Крылов С.С., Чуркина Т.Е.):

Значение арифметического выражения:
4500 + 3*42500 + 16500 - 1024
записали в системе счисления с основанием 4.

Сколько цифр "3" содержится в этой записи?


✍ Решение:

Результат: 496

Подробное решение данного 16 задания ЕГЭ по информатике можно посмотреть на видео:


16 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Значение арифметического выражения:
4910 + 730 – 49
записали в системе счисления с основанием 7.

Сколько цифр «6» содержится в этой записи?


✍ Решение:

  • Приведем все числа к степеням 7:
  • 720 + 730 - 72
  • Расставим операнды выражения в порядке убывания степеней:
  • 730 + 720 - 72
  • Вспомним две формулы для работы со системами счисления:
  • 1.
    an = 10..0a
           n
    2.
    an - am = (a-1)..(a-1)0..0a
                  n-m       m
    
  • Переведем первое число согласно формуле 1:
  • 730 = 10..0
            30
    
  • В данном числе нет цифры 6, как и в остальных числах.
  • Цифра 6 появляется при выполнении вычитания.
  • Подсчитаем все "6", используя формулу 2:
  • 0 + (20 - 2) = 18
    
  • Получаем шестерок: 18

Результат: 18

Подробное решение 16 задания демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео:


Задание 16_4:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 13.


✍ Решение:

  • Так как 75 должно оканчиваться на 13, то имеем два общих случая:
  • 1. 7510 = 13N 
    2. 7510 = ...13N (число оканчивается на 13)
    
  • Рассмотрим подробно каждый случай.
  • 1 случай:

  • Остаток должен быть равен 3 (последнее число в неизвестной системе), а частное должно равняться 1 (предпоследнее число в неизвестной системе):
  •  75|N 
      N|1  отсюда имеем => 75 - N = 3; т.е. N = 72
      3
    
  • Таким образом, мы получили одно из искомых оснований (72).
  • 2 случай:

  • Искомое оканчивается на цифру 3, значит:
  •  75|N 
     72|y  отсюда имеем => 75 = Ny + 3, где N - целое, неотриц.
      3
    
  • и далее, частное от деления - 1 (предпоследнее число):
  •  75|N  
     72|  y |N   => y = Nz + 1, где z - целое, неотриц.
      3  y-1|z
           1
    
  • Получаем два равенства (систему уравнений):
  • 75 = Ny + 3
    y = Nz + 1
    
  • Подставим y из второго равенства в первое:
  • 75 = N (Nz + 1) + 3;
    75 = N2z + N + 3;
    75 = N2z + N
  • Выразим z:
  • z = (72 - N)/N2
  • Учитывая то, что z - целое неотрицательное число, то 72 - N должно быть кратно N2, т.е. в числителе не может быть простого числа.
  • Простое число 67 получается путем вычитания из 72 числа 5. Соответственно, 5 нам не подходит: N ≠ 5:
  • 72 - 5 / 52 = 67 / 25  не делится, - не подходит!
  • Еще одно простое число - 71 получится при вычитании 72 - 1. Единица не подходит, так как при переводе в конце числа никак не останется 13: N ≠ 1.
  • Раз в знаменателе N2, то отбросим все числа, квадрат которых больше 72: 9, 10, ... и т.д. до бесконечности: N < 9
  • Раз в итоговом числе есть число 13, значит основание системы счисления больше 3 (т.е. цифра три присутствует в системах, начиная с 4-й): N >= 4
  • Проверим оставшиеся варианты - 4, 6, 7, 8:
  •  75 | 4 
     72 | 18| 4 
      3   16| 2
           2  => не подходит! должна быть единица
    
     75 | 6 
     72 | 12| 6 
      3   12| 1
           0  => не подходит! должна быть единица
    
     75 | 7 
     70 
      5 => не подходит! должна быть 3 
    
     75 | 8 
     72 | 9| 8 
      3   8| 1
           1  => подходит!
    

Результат: 8,72

Видеоразбор решения:


Разбор 16 задания ЕГЭ по информатике, вариант 2 (ФИПИ, «ЕГЭ информатика и ИКТ, типовые экзаменационные варианты 2018», 10 вариантов, С.С. Крылов, Т.Е. Чуркина):

Значение арифметического выражения: 81024 + 832 – 65 – записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» содержится в этой записи?


✍ Решение:

  • Приведем все числа к степеням восьмерки:
  • 65 = 64 + 1 = 82 + 80;
  • Получаем:
  • 81024 + 832 - (82 + 80);
    81024 + 832 - 82 - 80
    
  • Вспомним две формулы для работы с системами счисления:
  • 1.
    an = 10..0a
           n
    2.
    an - am = (a-1)..(a-1)0..0a
                  n-m       m
    
  • Переведем первое число согласно формуле 1:
  • 81024 = 10..0
            1024
    
  • В данном числе нет цифры 7, как и в остальных числах.
  • Цифра 7 появляется при выполнении вычитания. У нас два таких действия, идущих подряд. Это неудобно. Необходимо, чтобы действия чередовались (a + b - c + d - e...)
  • Вспомним еще одну формулу:
  • 3.
    
    -2n = -2n+1 + 2n
    ! Формула предназначена для чисел в двоичной системе счисления, но для подсчета цифр "7" в 8-й (или "6" в 7-й и т.п.) ее можно использовать (для поиска единиц или нулей она не подходит!!!)
  • В нашем случае заменим часть выражения:
  • -82 = -83 + 82
    ! обратите внимание, что тождество неверно, но
    при поиске количества "7" этой формулой можно воспользоваться
    (для поиска единиц или нулей она не подходит!)
    
    
    Получаем:
    
    81024 + 832 - 83 + 82- 80
    
  • Получили чередование операций "+" и "-".
  • Теперь посчитаем все "7", используя формулу 2:
  • 0 + (32 - 3) + (2 - 0) = 31
    
  • Получаем семерок: 31

Результат: 31


Разбор 16 задания ЕГЭ по информатике 2019 г. «10 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» Д.М. Ушаков:

Решите уравнение:

204N+1 = 204N + 2616

В ответе укажите значение переменной N.


✍ Решение:

  • Разделим уравнение на три части и вычислим каждую часть отдельно (выделим части разным цветом):
  • 204N+1 = 204N + 2616
     1       2     3 
    
  • Используем формулу разложения числа по степеням основания:
  • 1. 
    210
    204N+1
    
    По формуле получаем:
    2*(N+1)2 + 0*(N+1)1 + 4*(N+1)0 =
    = 2*(N2 + 2N + 1) + 0 + 4 = 2N2 + 4N + 6
    
  • Выполним то же самое для остальных двух частей:
  • 2.
    210
    204N
    
    По формуле получаем:
    2*N2 + 0*N1 + 4*N0 =
    = 2N2 + 4
    
    3.
    2616 = 3810
    
  • Подставим результаты всех частей в уравнение:
  • 2N2 + 4N + 6 = 2N2 + 4 + 38;
    4N = 36;
    N = 9
    

Результат: 9

Поделитесь уроком с коллегами и друзьями:
2 комментария

    ахелес

    последнее видео неправильно! В порядке возрастания, т.е. от меньшего к большему

      admin

      так и есть, в порядке возрастания: сначала 8, потом 72

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*


Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить