Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз.
У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 63.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 63 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 62.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.
Задание 19 ЕГЭ
а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть за один ход.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 20 ЕГЭ
Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 21 ЕГЭ
Укажите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани.
Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах – количество камней в куче.
Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.
✍ Решение:
- Задание 19
- Задание 20
- Задание 21
а) Петя может выиграть, если S = 13, … 62.
б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче S = 12 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 13, 16 или 60 камней. Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней в 5 раз и выигрывает за один ход.
Замечание для проверяющего. В задаче не требуется указать все выигрышные стратегии. Если в работе выпускника, как в приведённом примере, просто указано, что Ваня всегда увеличивает в 5 раз количество камней, – это не ошибка.
Возможные значения S: 8, 11. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 12 камней. Эта позиция разобрана в п. 1б. В ней игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (т.е. Петя) следующим ходом выиграет.
Возможные значения S: 7, 10.
Например, для S = 7 после первого хода Пети в куче будет 8, 11 или 35 камней. Если в куче станет 35 камней, Ваня увеличит количество камней в 5 раз и выиграет первым ходом. Ситуация, когда в куче 8 или 11 камней, разобрана в п. 2. В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом.
Ниже представлено дерево возможных партий (и только их) при описанной стратегии Вани для значения S = 7. При выбранной стратегии на последнем ходе Ваня увеличивает в 5 раз количество камней, хотя возможны и другие выигрышные стратегии. Для второго возможного
значения дерево строится аналогично. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) подчёркнуты.
Примечание для проверяющего. Здесь для полноты картины указаны два возможных значения S. По условию задачи достаточно указать одно из них
