Содержание:
Объяснение заданий 19, 20 и 21 ЕГЭ по информатике
Уровень сложности — повышенный,
Требуется использование специализированного программного обеспечения — нет,
Максимальный балл — 1,
Примерное время выполнения — 6 минут.
Проверяемые элементы содержания: Умение анализировать алгоритм логической игры
Уровень сложности — повышенный,
Требуется использование специализированного программного обеспечения — нет,
Максимальный балл — 1,
Примерное время выполнения — 6 минут.
Проверяемые элементы содержания: Умение найти выигрышную стратегию игры
Уровень сложности — повышенный,
Требуется использование специализированного программного обеспечения — нет,
Максимальный балл — 1,
Примерное время выполнения — 10 минут.
Проверяемые элементы содержания: Умение построить дерево игры по заданному алгоритму и найти выигрышную стратегию
"Для пункта 2 или 3 в представленной стратегии рассмотрены не все возможные ходы проигрывающего игрока, которые он может сделать при игре выигрывающего игрока по выигрышной стратегии.
Для пункта 3 представлено дерево игры, содержащее лишние ветви, не относящиеся к выигрышной стратегии.
Дерево, являющееся частью ответа на пункт 3, представлено с использованием ссылок на
фрагменты, являющиеся решениями других пунктов задания.
В задании спрашивается, в частности, кто выиграет, а в ответе не указан в явном виде выигрывающий игрок. На все вопросы, поставленные в задании, должны быть даны чёткие ответы. Ответ на вопрос о выигрышной стратегии в стиле «Может выиграть первый игрок, но если он неправильно пойдёт, то выиграет второй» является ошибочным, поскольку выигрышная стратегия одного игрока не оставляет возможности победы другому игроку"
Теория игр. Поиск выигрышной стратегии
Для решения 19 задания необходимо вспомнить следующие темы и понятия:
- для того чтобы найти выигрышную стратегию в несложных играх, достаточно использовать метод перебора всех возможных вариантов ходов игроков;
- для решения задач 19 задания чаще всего для этого применяется метод построения деревьев;
- если от каждого узла дерева отходят две ветви, т.е. возможные варианты хода, то такое дерево называется двоичным (если из каждой позиции есть три варианта продолжения, дерево будет троичным).
- все позиции в простых играх делятся на выигрышные и проигрышные;
- выигрышная позиция – это такая позиция, в которой игрок, делающий первый ход, обязательно выиграет при любых действиях соперника, если не допустит ошибки; при этом говорят, что у данного игрока есть выигрышная стратегия – алгоритм выбора очередного хода, позволяющий ему выиграть;
- если игрок, делающий первый ход, находится в проигрышной позиции, то он обязательно проиграет, если ошибку не сделает его оппонент; в этом случае говорят, что у данного игрока нет выигрышной стратегии; таким образом, общая стратегия игры состоит в том, чтобы своим ходом создать проигрышную позицию для оппонента;
- выигрышные и проигрышные позиции характеризуются так:
- позиция, из которой все возможные ходы ведут в выигрышные позиции – проигрышная;
- позиция, из которой хотя бы один из последующих возможных ходов ведет в проигрышную позицию — выигрышная, при этом стратегия игрока состоит в том, чтобы перевести игру в эту проигрышную (для оппонента) позицию.
- для того чтобы определить, какой из игроков выиграет при стратегически правильной игре, необходимо ответить на вопросы:
- Может ли какой-либо из игроков выиграть, независимо от ходов других игроков?
- Что должен сделать игрок с выигрышной стратегией первым ходом, чтобы он смог выиграть, независимо от действий ходов игроков?
Рассмотрим пример:
Решение:
- Будем использовать метод построения дерева. Первый играющий может убрать одну спичку (в этом случае их останется 4) или сразу 2 (останется 3), эти два варианта отобразим при помощи дерева:
- если первый игрок оставил 4 спички, второй может своим ходом оставить 3 или 2; а если после первого хода осталось 3 спички, второй игрок может выиграть, взяв две спички и оставив одну:
- если осталось 3 или 2 спички, то 1-ый игрок (в обеих ситуациях) выиграет своим ходом:
- если первый игрок своим первым ходом взял две спички, то второй сразу выигрывает; если же он взял одну спичку, то своим вторым ходом он может выиграть, независимо от хода второго игрока;
- итак, убрав всего одну спичку первым ходом, 1-ый игрок всегда может выиграть на следующем ходу;
- тогда как второй игрок не может выиграть, независимо от действий первого: потому что, если первый игрок сначала убрал одну спичку, второй всегда проиграет.
проанализируем стратегию игры:
Ответ: при правильной игре (стратегии игры) выиграет первый игрок; для этого ему достаточно своим первым ходом убрать одну спичку.
Решение 19, 20, 21 заданий ЕГЭ по информатике
Плейлист видеоразборов задания на YouTube: 
Задание демонстрационного варианта 2022 года ФИПИ
Игра с двумя кучами камней или табличка
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 59. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 59 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 53.
Задание 19 ЕГЭ.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Задание 20 ЕГЭ.
Найдите минимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Задание 21 ЕГЭ.
Найдите два значения S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
✍ Решение:
- Нарисуем таблицу, в первом столбце которой будем откладывать количество камней в первой куче, а в первой строке — количество камней во второй куче. Получим матрицу. Поскольку в первой куче количество начинается с 5, то это и будет первым значением в таблице. Во второй куче начнем с наибольшего возможного числа — 53. Таблица пригодится для решения заданий 20 и 21:
- Для начала найдем все выигрышные позиции для первой строки таблицы, т.е. для первого хода. Обозначим их плюсами (
+): - Для того, чтобы получить наименьшее значение
S, в качестве первого хода Пети необходимо увеличивать в два раза вторую кучу. Т.е. для решения задания необходимо найти такое наименьшееS, при котором Петя походил неверно, и попал своим ходом в выигрышную позицию для своего соперника, т.е. в ячейку с плюсом:
S в 2 два раза: 5 + S*2 >=59. Получим S>=27
S = 14 1 ход Петя: 14*2 = (5,28) 2 ход Ваня: 28*2 = (5,56), Сумма = 61, Выигрыш!
Ответ: 14
✎ Задание 20:
- Проанализируем таблицу, и для каждой строки найдем выигрышные позиции с одного хода. Т.е. которые позволят игроку, оказавшемуся «на них», выиграть за один ход (получить суммарно 59 и более камней):
- Найдем проигрышные позиции: те, которые ведут только в выигрышные позиции для соперника (ведут только в плюсы)
- В задании требуется найти минимальное
S, котором выиграет Петя, но выиграет он НЕ первым своим ходом, а вторым. То есть в нашем случае необходимо найтиS, которое может перевести соперника в проигрышную позицию. То есть в минус. Для первой строки (так как первым будет ходить Петя) таких значений два: - Наименьшее S = 24
Ответ: 24
✎ Задание 21:
- Для решения этого задания найдем выигрышные позиции со второго хода, т.е. которые могут перевести соперника в проигрышную позицию (с минусом):
- Чтобы выиграл Ваня, но выиграл не первым ходом, а вторым, необходимо, чтобы Петя находился в такой позиции, которая ведет его только на выигрышные позиции со второго хода:
Ответ: 23 25
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя.
За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается).
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче – S камней, S > 10.
Задание 19 ЕГЭ.
Найдите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети?
Задание 20 ЕГЭ.
Найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 ЕГЭ.
Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
✍ Решение (Excel):
- В столбце
Аотложим значения — количество камней в первой куче. Начнем с ячейкиА2, в которую внесем начальное количество камней, т.е. 10. Автозаполнением продлим значения вниз до 0: - В строке 1 таблицы (начиная с ячейки
B1) отложим значения для второй кучи. Поскольку в задании говорится, что победа будет достигнута при S<=20, и достигнуть этого значения более сильной командой можно уменьшив кол-во камней во второй куче в два раза, начиная с числа 40: 40/20. То есть возьмем значение больше 40, примерно 45. Используем автозаполнение до значения 11: - Из двух команд, которые могут выполнять игроки, выберем наиболее сильную, т.е. благодаря которой можно быстрее достичь выигрышного диапазона и попасть в значения S<=20. Это команда уменьшения количества камней в два раза, т.е.
/2. - Для каждой из ячеек полученной таблицы рассчитаем значение, полученное в результате уменьшения в два раза той кучи камней, в которой большее количество камней (так как это даст меньший результат). Например, для ячейки
С5, в которой игрок имеет в первой куче 7 камней, а во второй куче 44 камня, мы бы выполнили действие 44/2+7. Т.е. уменьшили вдвое вторую кучу, т.к. в ней больше камней. Еще необходимо обращать внимание на четность и нечетность значений (в Excel это функцияЕНЕЧЁТ— возвращает ИСТИНУ, если значение нечетно). - Чтобы автоматизировать процесс необходимо использовать формулу, в которой найдем максимальное значение из двух вариантов:
Минимальное из (ЕСЛИ(ЕНЕЧЁТ(1-я куча)то(1-я куча+1)/2+2-я куча,иначе1-я куча/2+2-я куча);ЕСЛИ(ЕНЕЧЁТ(2-я куча)то(2-я куча+1)/2+1-я куча,иначе2-я куча/2+1-я куча)).
B2:= МИН(ЕСЛИ(ЕНЕЧЁТ($A2);($A2+1)/2+B$1;$A2/2+B$1);ЕСЛИ(ЕНЕЧЁТ(B$1);(B$1+1)/2+$A2;B$1/2+$A2))
$ будем использовать для фиксации столбца А и строки 1 при копировании формулы.
Ответ: 21
✎ Задание 20:
- Продолжаем работать с той же таблицей, что и в задании 19. Выделим все проигрышные позиции (из которых можно походить только в выигрышные позиции для соперника, т.е. в выделенные ячейки):
- Петя может выиграть свои вторым ходом, если он не может выиграть первым ходом, но может выполнить ход в позицию, проигрышную для соперника (в ячейку, выделенную красным). Такие позиции назовем выигрышные позиции со второго хода. Найдем минимальное и максимальное значение
Sпри таком первом ходе Пети:
Ответ: 22 и 42
✎ Задание 21:
- Выделим все такие выигрышные позиции со второго хода:
- Далее придерживаемся следующей логики: Ваня сможет выиграть свои первым или вторым ходом, но при этом не гарантированно первым ходом, если у Пети будет возможность выполнить ходы только в позиции выигрышные со второго хода. Найдем такое S:
Ответ: 24
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На табличке написаны два значения. Оба игрока в свой ход могут заменить одно из значений на сумму обеих (по своему выбору). Первый ход делает Петя. Игра считается законченной когда сумма обеих значений равняется не меньше 56. То есть выигрывает игрок, получивший 56 или более в сумме. Начальное значение (10, S).
Задание 19 ЕГЭ.
Найдите максимальное S при котором Петя не может выиграть первым ходом.
Задание 20 ЕГЭ.
У кого из игроков есть выигрышная стратегия при начальном значении (9, 15).
Задание 21 ЕГЭ.
У кого из игроков есть выигрышная стратегия при начальном значении (3,7)? Опишите эту стратегию и изобразите дерево всех возможных партий при этой стратегии.
✍ Решение:
- Задание 19.
Максимальное S при котором Петя НЕ может выиграть своим первым ходом S = 22. Петя проиграет, если в сумме получится 55 и меньше. Первое значение = 10, необходимо найти второе значение, при этом максимальное. Схематично отобразим варианты ходов:
(10,22) - ход Пети - (10+22, 22) - итог суммы обеих значений таблички: 32 + 22 = 54 (<56)
В начальной позиции (9, 15) выигрышная стратегия есть у Вани. Для себя отобразим схематично выигрышную партию Вани:
В начальной позиции (3, 7) выигрышная стратегия есть у Вани. Изобразим дерево всех возможных партий при этой стратегии (раз говорится "при этой стратегии" имеем в виду, выигрышную стратегию Вани):
Решение подобного задания в Excel смотрите на видео:
📹 Видео
📹 Видеорешение на RuTube здесь
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 44.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 44 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 38.
Задание 19 ЕГЭ.
При каких S: 1а) Петя выигрывает первым ходом; 1б) Ваня выигрывает первым ходом?
Задание 20 ЕГЭ.
Назовите одно любое значение S, при котором Петя может выиграть своим вторым ходом.
Задание 21 ЕГЭ.
Назовите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом.
✍ Решение:
- Нарисуем таблицу, в первом столбце которой будем откладывать количество камней в первой куче, а в первой строке - количество камней во второй куче. Получим матрицу. Поскольку в первой куче количество начинается с 5, то это и будет первым значением в таблице. Во второй куче начнем с наибольшего возможного числа - 38:
- Далее будем рассуждать так: Петя может выиграть первым ходом, выполнив команду *2 (увеличить количество камней в куче в два раза), если вместо S (кол-во камней во второй куче), мы будем изменять значение, начиная от 20, до последнего возможного по условию значения 38:
Задание 19 а):
5 + 20*2 = 45 (>44) * 5 - кол-во камней в первой куче, оно не меняется по условию
+ означает выигрышную позицию с первого хода:
Ответ 1 а): S = [20;38] (На ЕГЭ пояснить ходы, например: (5; 20) -> (Ход Пети)-> (5;40); 40 + 5 = 45)
Задание 19 б):
+). Отметим такие позиции, учитывая, что это первый ход Пети, и кол-во камней в первой куче должно быть 5. Найденные позиции будут проигрышными позициями (-):
Ответ 1 б): S = 19 (На ЕГЭ пояснить ходы, например: (5; 19) -> (Ходы Пети): (5;21),(5;28);(7;19);(7;28). Везде следующим ходом выиграет Ваня, см. предыдущ. пункт)
Задание 20:
2+):
Ответ 2: S = 16, 17 или 18 (На ЕГЭ пояснить ходы, ссылаясь на объяснения в предыдущих пунктах)
Задание 21:
+), либо в позицию выигрышную со второго хода или n-го хода (2+). Это позиция при S = 14: 
Ответ 3: S = 14 (На ЕГЭ пояснить ходы, ссылаясь на объяснения в предыдущих пунктах)
Видеорешение на RuTube здесь
Задания для тренировки 19, 20, 21 заданий ЕГЭ (взяты из КИМ и сборников прошлых лет)
Игра с одной кучей камней
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 29 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 28.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока - значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Задание 19 ЕГЭ
а) Укажите такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 20 ЕГЭ
Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причем:
- Петя не может выиграть за один ход;
- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 21 ЕГЭ
Укажите значение S, при котором:
- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
- у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах — количество камней в позиции
Дерево не должно содержать партий, невозможных при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.
✍ Решение:
-
Задание 19.
- а) Петя может выиграть, если S = 15, ... 28
15, ..., 28 - выигрышные позиции с первого хода
S = 14 Петя: 14 + 1 = 15 выигрышная позиция (см. п. а). Выигрывает Ваня Петя: 14 * 2 = 28 выигрышная позиция (см. п. а). Выигрывает Ваня 14 - проигрышная позиция
Задание 20.
S = 7 Петя: 7 * 2 = 14 проигрышная позиция (см. п. 1 б). Выигрывает Петя S = 13 Петя: 13 + 1 = 14 проигрышная позиция (см. п. 1 б). Выигрывает Петя 7, 13 - выигрышные позиции со второго хода
Задание 21.
S = 12 Петя: 12 + 1 = 13 Ваня: 13 + 1 = 14 проигрышная позиция (см. п. 1 б). Выигрывает Ваня вторым ходом!
В таблице изображено дерево возможных партий (и только их) при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) подчеркнуты. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде.
Дерево всех партий, возможных при стратегии Вани:
* красный круг означает выигрыш
Два игрока, Паша и Вася, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в пять раз. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 69.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 69 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 68.
Задание 19 ЕГЭ.
а) Укажите все такие значения числа S, при которых Паша может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.
б)Укажите такое значение S, при котором Паша не может выиграть за один ход, но при любом ходе Паши Вася может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Васи.
Задание 20 ЕГЭ. Укажите 2 таких значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём Паша не может выиграть за один ход и может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вася. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Паши.
Задание 21 ЕГЭ. Укажите хотя бы одно значение S, при котором у Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши, и у Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Васи. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Васи (в виде рисунка или таблицы).
Типовые задания для тренировки
✍ Решение:
-
19.
а) S ≥ 14. При количестве камней в куче от 14 и выше Паше необходимо увеличить их количество в пять раз, тем самым получив 70 или более камней.
S ≥ 14 выигрышные позиции
б) S = 13. Паша своим первым ходом может сделать 14, 17 или 65 камней, после этого Вася увеличивает количество в пять раз, получая 70, 85 или 325 камней в куче.
S = 13 Паша 1 ход: 13 + 1 = 14 Паша 1 ход: 13 + 4 = 17 Паша 1 ход: 13 * 5 = 65 Ваня 1 ход: [14, 17, 65] * 5 = S ≥ 14 Ваня выигрывает 13 - проигрышная позиция
20. S = 9, 12. Для данных случаев Паше необходимо прибавить 4 камня к куче из 9 камней, либо 1 камень к куче из 12, и получить кучу из 13 камней.
После чего игра сводится к стратегии, описанной в пункте 1б.
S = 13 Паша 1 ход: 9 + 4 = 13 Паша выигрывает Паша 1 ход: 12 + 1 = 13 Паша выигрывает 9, 12 - выигрышные позиции со второго хода
21. S = 8. Своим первым ходом Паша может сделать количество камней в куче 9, 12 или 40. Если Паша увеличивает кол-во в пять раз, тогда Вася выигрывает своим первым ходом, увеличивая количество камней в пять раз.
Для случая 9 и 12 камней Вася использует стратегию, указанную в п.2.
S = 8 Паша 1 ход: 8 + 1 = 9 Ваня Выигрывает (см. п.2) Паша 1 ход: 8 + 4 = 12 Ваня Выигрывает (см. п.2) Паша 1 ход: 8 * 5 = 40
Аналитическое решение 19 задания смотрите на видео:
📹 YouTube здесь
Видеорешение на RuTube здесь
Два игрока, Паша и Валя, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 7 камней, за один ход можно получить кучу из 14 или 8 камней. У каждого игрока, чтобы сделать ход, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 28. Если при этом в куче осталось не более 44 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. Например, если в куче было 23 камня, и Паша удвоит количество камней в куче, то игра закончится и победителем будет Валя. В начальный момент в куче было S камней, 1≤ S ≤ 27.
Задание 19 ЕГЭ
а) При каких значениях числа S Паша может выиграть в один ход? Укажите все такие значения и соответствующие ходы Паши.
б) У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 26, 25, 24? Опишите выигрышные стратегии для этих случаев.
Задание 20 ЕГЭ
У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 13, 12? Опишите соответствующие выигрышные стратегии.
Задание 21 ЕГЭ
У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 11? Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах - количество камней в позиции.
✍ Решение:
а) Паша имеет выигрышную стратегию и может выиграть за один ход, если S = 27: тогда ему достаточно добавить один камень, чтобы игра закончилась при 28 камнях в куче; или если S = 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 (44/2 = 22 и 28/2 = 14, т.е. от 14 до 22): тогда необходимо удвоить кучу.
S=27 Паша: 27 + 1 = 28 - Выигрыш! 27 - выигрышная позиция
б) При S = 26 выигрышная стратегия есть у Вали. Паша делает ход первым, у него есть возможность либо удвоить количество камней в куче, и тогда количество превысит 44, - выигрывает Валя; либо увеличить количество на один камень, станет 27 камней: следующая Валя, - она может положить один камень и выиграть.
S=26 Паша: 26 * 2 = 52 Валя выигрывает! или: Паша: 26 + 1 = 27 Валя: 27 + 1 = 28 - Выигрыш! 26 - проигрышная позиция
При S = 25 выигрышная стратегия есть у Паши. Удваивать количество камней нет смысла, т.к. количество превысит 44, значит, Паша добавит один камень, их станет 26, следующая Валя, — она может либо добавить камень (станет 27 камней, следующим ходом выиграет Паша) либо удвоить — и сразу проиграть, т.к. станет более 44 камней.
S=25 Паша: 25 + 1 = 26 Валя: 26 ... проигрышная позиция (см. выше) Паша выигрывает! 25 - выигрышная позиция
При S = 24 выигрышная стратегия есть у Вали. Паша делает ход первым: удваивать кучу нет смысла, т.к. в ней станет более 44, значит, Паша добавит один камень, их станет 25; следующая — Валя: она может только добавить один камень (станет 26 камней, следующим ходом Паша оказывается в проигрышной позиции, см. пункт при S = 26).
S=24 Паша: 24 + 1 = 25 Валя: 25 ... выигрышная позиция (см. выше) Валя выигрывает! 24 - проигрышная позиция
Задание 20 ЕГЭ:
Задание 21 ЕГЭ:
Дерево возможных партий:
** красный круг означает выигрыш
*** фиолетовый круг - конец игры (проигрыш)
Подробное объяснение 19 задания ЕГЭ смотрите на видео (аналитическое решение):
📹 YouTube здесь
Видеорешение на RuTube здесь
Игра с двумя кучами камней или табличка
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 73.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 73 камня или больше.
Задание 1.
Для каждой из начальных позиций (6, 33), (8, 32) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.
Задание 2.
Для каждой из начальных позиций (6, 32), (7, 32), (8, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию.
Задание 3.
Для начальной позиции (7, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной вами выигрышной стратегии. Представьте дерево в виде рисунка или таблицы.
✍ Решение:
- Задание 1. В начальных позициях (6, 33), (8, 32) выигрышная стратегия есть у Вани.
- Задание 2. В начальных позициях (6, 32), (7, 32) и (8, 31) выигрышная стратегия есть у Пети.
- Задание 3. В начальной позиции (7, 31) выигрышная стратегия есть у Вани.
Видео решения 19 задания с двумя кучами (аналитическое решение):
📹 YouTube здесь
Видеорешение на RuTube здесь
Игра с набором слов
Петя и Ваня играют в игру: есть набор слов, необходимо последовательно называть буквы этих слов. Побеждает тот игрок, который называет последнюю букву любого слова из набора. Петя ходит первым.
Задание 1
А) Даны 2 слова (набора букв) {ИКЛМНИКЛМНХ, НМЛКИНМЛКИ}. Определить выигрышную стратегию.
Б) Даны 2 слова {ТРИТРИТРИ...ТРИ, РИТАРИТАРИТАРИТА...РИТА}. В первом слове 99 букв, во втором 164. Определить выигрышную стратегию.
Задание 2
Необходимо поменять две буквы местами из набора пункта 1А в слове с наименьшей длинной так, чтобы выигрышная стратегия была у другого игрока. Объяснить выигрышную стратегию.
Задание 3
Дан набор слов {Ворона, Волк, Волна, Производная, Прохор, Просо}. У кого из игроков есть выигрышная стратегия? Обосновать ответ и написать дерево всех возможных партий для выигрышной стратегии.
✍ Решение:
- Если поменять местами во втором слове (НМЛКИНМЛКИ) буквы Н и И, то получится следующий набор слов:
{ИКЛМНИКЛМНХ, ИМЛКННМЛКИ}Для данного набора выигрышная стратегия есть у Вани. Петя в любом случае должен будет выбрать букву И, а Ваня следующим ходом может перевести игру в проигрышную позицию для Пети, т.е. перейти на второе слово, назвав букву М. Такая стратегия приведет Ваню к выигрышу, так как последнюю букву слова - И - запишет именно он.
- Выигрышная стратегия есть у Вани, так как при любом выборе Пети, Ваня может перевести игру в проигрышную позицию для Пети, т.е. "перейти" на слово с четным количеством букв. Такая стратегия позволит Ване написать последнюю букву и тем самым выиграть игру.
А) Для выигрыша Пете достаточно выбрать первую букву слова с нечетным количеством букв, тогда последний ход делает Петя. При исходном наборе слов выигрышная стратегия есть у Пети. Она заключается в том, что своим первым ходом он должен выбрать букву И (слово ИКЛМНИКЛМНХ из 11 букв). Ване придется выбрать букву К. Таким образом, они последовательно будут называть буквы первого слова, пока Петя не выберет последнюю букву Х. На этом игра закончится выигрышем Пети. При данной стратегии возможна только одна партия. Заключением партии будет написано слово ИКЛМНИКЛМНХ.
Б) При исходном наборе слов выигрышная стратегия есть у Пети. Она заключается в том, чтобы выбрать слово с нечетным количеством букв, т.к. при такой стратегии последнюю букву в любом случае записывает Петя. Т.о., Петя должен выбрать букву Т, т.к. в первом слове 99 букв.
Дерево возможных партий:
* Для Вани отображены только ходы по стратегии
** Красный круг означает выигрыш
Подробней с решением задания про слова ознакомьтесь в видеоуроке (аналитическое решение):
Видеорешение на RuTube здесь
Спасибо!
В последнем примере ошибка в решении задания 3: не (16,31), а (14,31).
Спасибо! исправлено
В номере с наборами слов в задании 3 показано неверное дерево ВСЕХ возможных партий. Игра может закончиться комбинацией п-р-о-с-о или п-р-о-и-з-В-… (где далее можно перейти на слова ВОРОН, ВОЛК ,ВОЛНА или продолжить начальное слово). В условии не уточнено, что нужно написать дерево всех партий с ПОБЕДНОЙ СТРАТЕГИЕЙ.
В таких заданиях просто всегда требуется изобразить дерево для Выигрышной стратегии. В комментариях к рисунку это, кстати, указано. Я добавила в само задание. В любом случае спасибо:)