Уровень сложности — повышенный,
Требуется использование специализированного программного обеспечения — нет,
Максимальный балл — 1,
Примерное время выполнения — 5 минут.
Проверяемые элементы содержания: Знание позиционных систем счисления
Задание демонстрационного варианта 2021 года ФИПИ
Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 3.
Ответ: 13
- Для начала достаточно перевести первое и последнее число предложенного интервала в троичную систему счисления. Сделаем это:
1. 13 | 3 12 4 | 3 1 3 1 1 1310 = 1113 2. 23 | 3 21 7 | 3 2 6 2 1 2310 = 2123
111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212
111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212
Решите уравнение:
В ответе укажите значение переменной N.
Ответ: 9
- Разделим уравнение на три части и вычислим каждую часть отдельно (выделим части разным цветом):
204N+1 = 204N + 2616 1 2 3
1.
210
204N+1
По формуле получаем:
2*(N+1)2 + 0*(N+1)1 + 4*(N+1)0 =
= 2*(N2 + 2N + 1) + 0 + 4 = 2N2 + 4N + 6
2.
210
204N
По формуле получаем:
2*N2 + 0*N1 + 4*N0 =
= 2N2 + 4
3. 2616 = 3810
2N2 + 4N + 6 = 2N2 + 4 + 38; 4N = 36; N = 9
Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение:
144 + 24 = 201
Ответ: 7
- Вместо обозначения искомой системы счисления введем неизвестное x:
144x + 24x = 201x
144 + 24 = 201 1*x2 + 4*x1 + 4*x0 + 2*x1 + 4*x0 = 2*x2 + 0*x1 + 1*x0
x2 - 6x - 7 = 0
D = b2 - 4ac = 36 - 4*1*(-7) = 64
x = (-b ± √D)/2a
x1 = (6 + 8)/2 = 7
x2 = (6 - 8)/2 - не подходит
x = 7
В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 68 и 94 заканчиваются на 3. Определите основание системы счисления.
Ответ: 13
- Вспомним правило:
- Примем искомую систему счисления за x. Тогда, исходя из приведенного правила имеем:
94 / x = некоторое число и остаток 3 и 68 / x = некоторое число и остаток 3
91/x 65/x
91 - 65 = 26 65 - 26 = 39 39 - 26 = 13 26 - 13 = 13
Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *
:
X = *516 = *0*8
Сколько чисел соответствуют условию задачи?
Ответ: 3
- Данные числа с утерянными символами переведем из 16-й и из 8-й системы счисления в двоичную. Перевод будем делать триадами и тетрадами, неизвестные позиции оставим пустыми:
1. *516 * | 5 16 * * * * | 0 1 0 1 2 2. *0*8 * | 0 | * 8 * * *|0 0 0|* * * 2
* * 0 0 0 1 0 1
1. 01000101 2. 10000101 3. 11000101
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 13.
Ответ: 8,72
- Так как 75 должно оканчиваться на 13, то имеем два общих случая:
1. 7510 = 13N 2. 7510 = ...13N (число оканчивается на 13)
1 случай:
75|N N|1 отсюда имеем => 75 - N = 3; т.е. N = 72 3
2 случай:
75|N 72|y отсюда имеем => 75 = Ny + 3, где N - целое, неотриц. 3
75|N 72| y |N => y = Nz + 1, где z - целое, неотриц. 3 y-1|z 1
75 = Ny + 3 y = Nz + 1
75 = N (Nz + 1) + 3; 75 = N2z + N + 3; 75 = N2z + N
z = (72 - N)/N2
72 - 5 / 52 = 67 / 25 не делится, - не подходит!
75 | 4
72 | 18| 4
3 16| 2
2 => не подходит! должна быть единица
75 | 6
72 | 12| 6
3 12| 1
0 => не подходит! должна быть единица
75 | 7
70
5 => не подходит! должна быть 3
75 | 8
72 | 9| 8
3 8| 1
1 => подходит!
Выражение 25*325 записано в троичной системе счисления. Определите, сколько в этой записи цифр 0, 1 и 2.
Ответ: «0»=26, «1»=2, «2»=1
-
Рассмотрим каждый сомножитель отдельно.
- Первый сомножитель:
25 = 32 Переведем в троичную систему счисления (делением на 3, переписываем остатки). Результат: 3210 = 10123
325 = 10..0{25 нулей}3
1000 x 1012 = ---- 2000 1000 0000 1000 ------- 1012000
Значение арифметического выражения:
21024 + 464 — 64
записали в системе счисления с основанием 2.
Сколько цифр «1» содержится в этой записи?
Типовые задания для тренировки
Типовые задания для тренировки
Ответ: 123
- Существует правило:
- Чтобы воспользоваться этим правилом, преобразуем общее выражение к степеням двойки:
1
единица и N
нулей)21024 + (22)64 - 26 = 21024 + 2128 - 26
10...0 (1024 нуля) + 10...0 (128 нулей) - 10...0 (6 нулей)
10....00000 - 1024 нуля + 10..0 - 128 нулей _________________________ 10....10..0
10....00000 - 1024 нуля + 10..0 - 128 нулей _________________________ 10....10..0 - запомним единицу
N - K
единиц)0…0(K
нулей)10..0000000 - 128 нулей - 1000000 _________________________ 11..1000000 - 122 единицы и 6 нулей
122 + 1 = 123 единицы
Значение арифметического выражения:
4910 + 730 – 49
записали в системе счисления с основанием 7.
Сколько цифр «6» содержится в этой записи?
Ответ: 18
- Приведем все числа к степеням 7:
720 + 730 - 72
730 + 720 - 72
1. an = 10..0a n 2. an - am = (a-1)..(a-1)0..0a n-m m
730 = 10..0 30
0 + (20 - 2) = 18
Результат: 18
Значение арифметического выражения:
4500 + 3*42500 + 16500 — 1024
записали в системе счисления с основанием 4.
Сколько цифр «3» содержится в этой записи?
Ответ: 496
Значение арифметического выражения: 81024 + 832 – 65 – записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» содержится в этой записи?
Ответ: 31
- Приведем все числа к степеням восьмерки:
65 = 64 + 1 = 82 + 80;
81024 + 832 - (82 + 80); 81024 + 832 - 82 - 80
1. an = 10..0a n 2. an - am = (a-1)..(a-1)0..0a n-m m
81024 = 10..0 1024
3.-2n = -2n+1 + 2n! Формула предназначена для чисел в двоичной системе счисления, но для подсчета цифр "7" в 8-й (или "6" в 7-й и т.п.) ее можно использовать (для поиска единиц или нулей она не подходит!!!)
-82 = -83 + 82
! обратите внимание, что тождество неверно, но
при поиске количества "7" этой формулой можно воспользоваться
(для поиска единиц или нулей она не подходит!)
Получаем:
81024 + 832 - 83 + 82- 80
0 + (32 - 3) + (2 - 0) = 31