Информатика ЕГЭ 14 задание разбор

Дата изменения: 21 октября 2022
14-е задание: «Операции в системах счисления»
Уровень сложности — повышенный,
Требуется использование специализированного программного обеспечения — нет,
Максимальный балл — 1,
Примерное время выполнения — 5 минут.
  
Проверяемые элементы содержания: Знание позиционных систем счисления
До ЕГЭ 2021 года — это было задание № 16 ЕГЭ

Плейлист видеоразборов задания на YouTube:
Задание демонстрационного варианта 2022 года ФИПИ

Определите наибольшее/наименьшее значение x, y

Задание 14_14:
14_14:

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15.

82x19₁₅ – 6x073₁₅

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 11. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Ответ: 7806

Показать решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

uses school;
begin
  foreach var x in '0123456789abcde' do
  begin
    var a := dec('82'+ x +'19', 15);
    var b :=dec('6' + x +'073', 15);
    var sum := a - b;
    if sum mod 11 = 0 then
    begin
      print(sum / 11);
      break;
    end
  end;
end.
Python:

1

 
С++:

1

 

Сколько цифр и сумма цифр

Задание 14_12:
14_12:

Значение арифметического выражения 

43∙7103 – 21∙757 + 98

записали в системе счисления с основанием 7.
Найдите сумму цифр получившегося числа и запишите её в ответе в десятичной системе счисления.

Ответ: 276

Показать решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net, Решение 1:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

begin
  var x,s: Biginteger;
  x := 43*Biginteger.Pow(7, 103) - 21*Biginteger.Pow(7, 57) + 98;
  // в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч.
  s:=0;
  while x > 0 do
  begin
    s:=s+ x mod 7; // добавляем цифру правого разряда
    x := x div 7; // убираем разряд числа в 7-й системе сч.
  end;
  println(s);
end.
PascalABC.net, Решение 2:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

uses school;
 
begin
  var n: bigInteger;
  n := 43 * Biginteger.Pow(7, 103) - 21 * Biginteger.Pow(7, 57) + 98;
  print(n.ToString.ToBase(7).CountOf('1') +
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('2') * 2 + 
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('3') * 3 +
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('4') * 4 +
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('5') * 5 +
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('6') * 6);
end.
Python:

1
2
3
4
5
6
7

x = 43*7**103 - 21*7**57 + 98
s = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч.
while x: 
    s+= x % 7 # добавляем цифру к сумматору
    x //= 7 # убираем разряд числа в 7-й системе сч.
print( s )
С++:

1

 
Задание 14_1:
14_1:

Значение арифметического выражения:
21024 + 464 — 64
записали в системе счисления с основанием 2.

Сколько цифр «1» содержится в этой записи?
  
Типовые задания для тренировки
Типовые задания для тренировки

Ответ: 123

✍ Показать решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net, Решение 1:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

begin
  var k := 0;
  var x: Biginteger;
  x := Biginteger.Pow(2, 1024) + Biginteger.Pow(4, 64) - 64;
  // в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 2-й системе сч.
  while x > 0 do
  begin
    if x mod 2 = 1 then k += 1; // если цифра = 1, то считаем ее
    x := x div 2; // убираем разряд числа в 2-й системе сч.
  end;
  println(k);
end.
PascalABC.net, Решение 2:

1
2
3
4
5
6
7

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(2, 1024) + Biginteger.Pow(4, 64) - 64;
  print(x.ToString.ToBase(2).CountOf('1'));
end.
Python:

1
2
3
4
5
6
7
8

x = 2**1024 + 4**64 - 64
k = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 2-й системе сч.
while x: 
    if x % 2 == 1: # если цифра = 1, то считаем ее
        k += 1
    x //= 2 # убираем разряд числа в 2-й системе сч.
print( k )
С++:

1

 

✎ Решение теоретическое:

  • Существует правило:
    • 2N = 10..02(1 единица и N нулей)
  • Чтобы воспользоваться этим правилом, преобразуем общее выражение к степеням двойки:
    • 21024 + (22)64 - 26 = 21024 + 2128 - 26
  • При переводе в двоичную систему получим:
    • 10...0 (1024 нуля) + 10...0 (128 нулей) - 10...0 (6 нулей)
  • Обратим внимание, что разница между числами большая. Т.е. при выполнении сложения в столбик, единицы в одном и том же разряде быть не могут. Так:
    •  10....00000  - 1024 нуля
+
       10..0  - 128 нулей
_________________________
 10....10..0
  • Из первого слагаемого 10…0 (1024 нуля) запомним одну единицу в старшем бите, остальные нули нас не интересуют, так как далее мы воспользуемся другим правилом — для разницы:
    •  10....00000  - 1024 нуля
+
       10..0  - 128 нулей
_________________________
 10....10..0  - запомним единицу
  • Существует также правило:
    • 2N — 2K = 1…1 (N - K единиц)0…0(K нулей)
  • По формуле выполним вычитание 2128 — 26: получим 1..1 (122 единицы) 0..0(6 нулей):
    •  10..0000000  - 128 нулей
-
     1000000  
_________________________
 11..1000000  - 122 единицы и 6 нулей
  • Прибавим к 122 получившимся единицам еще одну из первого слагаемого (10…0 (1024 нуля)) и получим:
    • 122 + 1 = 123 единицы

📹 Видео (аналитическое решение)
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Задание 14_3:
14 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Значение арифметического выражения:
4910 + 730 – 49
записали в системе счисления с основанием 7.

Сколько цифр «6» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

Ответ: 18

✍ Показать решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net, решение 1:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

begin
  var x: Biginteger;
  x := Biginteger.Pow(49, 10) + Biginteger.Pow(7, 30) - 49;
  // в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч.
  var k:=0;
  while x > 0 do
  begin
    if x mod 7 = 6 then k+=1; // если цифра = 6, то считаем ее
    x := x div 7; // убираем разряд числа в 7-й системе сч.
  end;
  println(k);
end.
PascalABC.net, решение 2:

1
2
3
4
5
6
7

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(49, 10) + Biginteger.Pow(7, 30) - 49;
  print(x.ToString.ToBase(7).CountOf('6'));
end.
Python:

1
2
3
4
5
6
7
8

x = 49**10 + 7**30 - 49
k = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч.
while x: 
    if x % 7 == 6: # если цифра = 6, то считаем ее
        k += 1
    x //= 7 # убираем разряд числа в 7-й системе сч.
print( k )
С++:

1

 

✎ Решение теоретическое:

  • Приведем все числа к степеням 7:
    • 720 + 730 - 72
  • Расставим операнды выражения в порядке убывания степеней:
    • 730 + 720 - 72
  • Вспомним две формулы для работы со системами счисления:
    • 1.
an = 10..0a
       n
2.
an - am = (a-1)..(a-1)0..0a
              n-m       m
  • Переведем первое число согласно формуле 1:
    • 730 = 10..0
        30
  • В данном числе нет цифры 6, как и в остальных числах.
  • Цифра 6 появляется при выполнении вычитания.
  • Подсчитаем все «6», используя формулу 2:
    • 0 + (20 - 2) = 18
  • Получаем шестерок: 18

Результат: 18

📹 Видео (аналитическое решение)
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Задание 14_2:
14_2:

Значение арифметического выражения:
4500 + 3*42500 + 16500 — 1024
записали в системе счисления с основанием 4.

Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

Ответ: 496

✍ Показать решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net:

1
2
3
4
5
6
7

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(4,500) + 3*Biginteger.Pow(4,2500) + Biginteger.Pow(16,500) - 1024;
  print(x.ToString.ToBase(4).CountOf('3'));
end.
Python:

1
2
3
4
5
6
7
8

x = 4**500 + 3*4**2500 + 16**500 - 1024
k = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 4-й системе сч.
while x: 
    if x % 4 == 3: # если цифра = 3, то считаем ее
        k += 1
    x //= 4 # убираем разряд числа в 4-й системе сч.
print( k )
С++:

1

 

Результат: 496

📹 Видео (аналитическое решение)
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Задание 14_5:
14_5:

Значение арифметического выражения: 81024 + 832 – 65 – записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

Ответ: 31

✍ Показать решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net:

1
2
3
4
5
6
7

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(8,1024) + Biginteger.Pow(8,32) - 65;
  print(x.ToString.ToBase(8).CountOf('7'));
end.
Python:

1
2
3
4
5
6
7
8

x = 8**1024 + 8**32 - 65
k = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 8-й системе сч.
while x: 
    if x % 8 == 7: # если цифра = 7, то считаем ее
        k += 1
    x //= 8 # убираем разряд числа в 8-й системе сч.
print( k )
С++:

1

 

✎ Решение теоретическое:

  • Приведем все числа к степеням восьмерки:
    • 65 = 64 + 1 = 82 + 80;
  • Получаем:
    • 81024 + 832 - (82 + 80);
81024 + 832 - 82 - 80
  • Вспомним две формулы для работы с системами счисления:
    • 1.
an = 10..0a
       n
2.
an - am = (a-1)..(a-1)0..0a
              n-m       m
  • Переведем первое число согласно формуле 1:
    • 81024 = 10..0
        1024
  • В данном числе нет цифры 7, как и в остальных числах.
  • Цифра 7 появляется при выполнении вычитания. У нас два таких действия, идущих подряд. Это неудобно. Необходимо, чтобы действия чередовались (a + b — c + d — e…)
  • Вспомним еще одну формулу:
    • 3.

    -2n = -2n+1 + 2n

    
! Формула предназначена для чисел в двоичной системе счисления,
но для подсчета цифр "7" в 8-й (или "6" в 7-й и т.п.) ее можно использовать
(для поиска единиц или нулей она не подходит!!!)
  • В нашем случае заменим часть выражения:
    • -82 = -83 + 82
! обратите внимание, что тождество неверно, но
при поиске количества "7" этой формулой можно воспользоваться
(для поиска единиц или нулей она не подходит!)


Получаем:

81024 + 832 - 83 + 82- 80
  • Получили чередование операций «+» и «-«.
  • Теперь посчитаем все «7», используя формулу 2:
    • 0 + (32 - 3) + (2 - 0) = 31
  • Получаем семерок: 31
Задание 14_13:
14_13:

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4350 + 8340 – 2320 – 12?

Ответ: 324

Показать решение:

    ✎ Решение с использованием программирования:

    PascalABC.net:

    1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

    begin
  var b2 := biginteger(2);
  var numb := (2 * b2) ** 350 + (4 * b2) ** 340 - (1 * b2) ** 320 - 12;
  var digit: biginteger;
  var n := 0;
  while numb > 0 do
  begin
    digit := numb mod 2;
    if digit = 0 then n += 1;
    numb := numb div 2
  end;
  print(n)
 end.
    PascalABC.net, решение 2:

    1
2
3
4
5
6
7

    uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(4,350) + Biginteger.Pow(8,340) - Biginteger.Pow(2,320) - 12;
  print(x.ToString.ToBase(2).CountOf('0'));
end.
    Python:

    1
2
3
4
5
6
7

    x = 4**350 + 8**340 - 2**320 - 12
print(x)
k = 0
while x:
  if x % 2 == 0: k += 1
  x //= 2
     print( k )
    С++:

     

✎ Решение теоретическое:
4350 + 8340 – 2320 – 12

  • По возможности приведем каждое слагаемое к степеням 2. Получим:
    • (22)350 + (23)340 - 2320 - 3*22 =
(22)350 + (23)340 - 2320 - 12 =
2700 + 21020 - 2320 - (23 + 22)
  • Далее рассуждаем так: количество нулей можно найти, если из общего количества цифр в результирующем числе вычесть количество не нулей (любых других цифр).
  • Расположим операнды по убыванию:
    • 21020 + 2700 - 2320 - 23 - 22
  • Наибольшее число 21020, в нем 1021 разряд в двоичной с.с. (одна единица и 1020 нулей). То есть всего 1021 знаков.
  • Для того, чтобы избежать два подряд идущих минуса, воспользуемся правилом -2n = -2n+1+2n и преобразуем выражение:
    • 21020 + 2700 - 2321+ 2320- 24 + 23 - 22
  • Посчитаем количество не нулей в каждом операнде:
    • 21020 -> один не ноль
2700 - 2321 -> 379 не нулей
2320- 24 -> 316 не нулей 
23 - 22 -> один не ноль
Итого: 1+ 379+316 +1 = 697
  • Получаем нулей:
    • 1021 - 697 = 324

    Результат: 324

    Найти основание системы счисления и уравнения

    Задание 14_7:
    14_7:

    Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 3.

    Типовые задания для тренировки

    Ответ: 13

    Показать решение:

    • Для начала достаточно перевести первое и последнее число предложенного интервала в троичную систему счисления. Сделаем это:
      • 1.
 13 | 3 
 12   4 | 3 
  1   3   1   
      1
1310 = 1113

2.
23 | 3 
21   7 | 3 
2    6   2
     1
2310 = 2123
    • Теперь добавим промежуточные числа в троичной системе счисления (прибавляя единицу к каждому очередному полученному числу), не забывая, что в троичной системе всего три цифры (0, 1 и 2):
      • 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212
    • На всякий случай стоит посчитать количество полученных чисел и сравнить их с количеством чисел в исходной последовательности.
    • Теперь осталось посчитать количество цифр 2 в полученной последовательности. Их 13:
      • 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212
    Задание 14_6:
    14_6:

    Решите уравнение:

    204N+1 = 204N + 2616

    В ответе укажите значение переменной N.

    Типовые задания для тренировки

    Ответ: 9

    Показать решение:

    • Разделим уравнение на три части и вычислим каждую часть отдельно (выделим части разным цветом):
      • 204N+1 = 204N + 2616
 1       2     3
    • Используем формулу разложения числа по степеням основания:
      • 1. 
210
204N+1

По формуле получаем:
2*(N+1)2 + 0*(N+1)1 + 4*(N+1)0 =
= 2*(N2 + 2N + 1) + 0 + 4 = 2N2 + 4N + 6
    • Выполним то же самое для остальных двух частей:
      • 2.
210
204N

По формуле получаем:
2*N2 + 0*N1 + 4*N0 =
= 2N2 + 4

      3.
2616 = 3810
    • Подставим результаты всех частей в уравнение:
      • 2N2 + 4N + 6 = 2N2 + 4 + 38;
4N = 36;
N = 9
    Задание 14_8:
    14_8:

    Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 

    144 + 24 = 201

    Типовые задания для тренировки

    Ответ: 7

    Показать решение:

    • Вместо обозначения искомой системы счисления введем неизвестное x:
      • 144x + 24x = 201x
    • Запишем формулу перевода в десятичную систему счисления каждого из слагаемых и сумму исходного равенства:
      • 144 + 24 = 201
1*x2 + 4*x1 + 4*x0 + 2*x1 + 4*x0 = 2*x2 + 0*x1 + 1*x0
    • Упростим полученное уравнение:
      • x2 - 6x - 7 = 0
    • Решим уравнение:
      • D = b2 - 4ac = 36 - 4*1*(-7) = 64
x = (-b ± √D)/2a
x1 = (6 + 8)/2 = 7
x2 = (6 - 8)/2 - не подходит
x = 7
    Задание 14_9:
    14_9:

    В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 68 и 94 заканчиваются на 3. Определите основание системы счисления.

    Типовые задания для тренировки

    Ответ: 13

    Показать решение:

    • Вспомним правило:
      • Последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием X — это остаток от деления этого числа на X
    • Примем искомую систему счисления за x. Тогда, исходя из приведенного правила имеем:
      • 94 / x = некоторое число и остаток 3
и
68 / x = некоторое число и остаток 3
    • Поскольку x должно быть целым числом, то следующее деление должно выполняться без остатка:
      • 91/x 
65/x
    • Иными словами x — наибольший общий делитель чисел 91 и 65.
    • Найдем НОД, например, по алгоритму Евклида: 
      • 91 - 65 = 26
65 - 26 = 39
39 - 26 = 13
26 - 13 = 13
    • Получаем результат 13.
    Задание 14_10:
    14_10:

    Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *:

    X = *516 = *0*8

    Сколько чисел соответствуют условию задачи?

    Типовые задания для тренировки

    Ответ: 3

    Показать решение:

    • Данные числа с утерянными символами переведем из 16-й и из 8-й системы счисления в двоичную. Перевод будем делать триадами и тетрадами, неизвестные позиции оставим пустыми:
      • 1. *516
    *   |    5  16

* * * * | 0 1 0 1 2

2. *0*8
  *  |  0  |  *  8
* * *|0 0 0|* * * 2
    • Сопоставим известные и неизвестные биты в обеих получившихся масках:
      • * * 0 0 0 1 0 1
    • Неизвестными остались 7-й и 8-й бит. Они не могут быть одновременно нулями, так как для *0*8 тогда исчезнет старший разряд. Поэтому оставшиеся варианты будут такими:
      • 1. 01000101
2. 10000101
3. 11000101
    • Итого 3 варианта.

    📹 Видео (аналитическое решение
    📹 Видеорешение на RuTube здесь)

    Задание 14_4:
    14_4:

    Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 13.

    Типовые задания для тренировки

    Ответ: 8,72

    ✍ Показать решение:

    • Так как 75 должно оканчиваться на 13, то имеем два общих случая:
      • 1. 7510 = 13N 
2. 7510 = ...13N (число оканчивается на 13)
    • Рассмотрим подробно каждый случай.

      • 1 случай:

    • Остаток должен быть равен 3 (последнее число в неизвестной системе), а частное должно равняться 1 (предпоследнее число в неизвестной системе):
      •  75|N 
  N|1  отсюда имеем => 75 - N = 3; т.е. N = 72
  3
    • Таким образом, мы получили одно из искомых оснований (72).

      • 2 случай:

    • Искомое оканчивается на цифру 3, значит:
      •  75|N 
 72|y  отсюда имеем => 75 = Ny + 3, где N - целое, неотриц.
  3
    • и далее, частное от деления — 1 (предпоследнее число):
      •  75|N  
 72|  y |N   => y = Nz + 1, где z - целое, неотриц.
  3  y-1|z
       1
    • Получаем два равенства (систему уравнений):
      • 75 = Ny + 3
y = Nz + 1
    • Подставим y из второго равенства в первое:
      • 75 = N (Nz + 1) + 3;
75 = N2z + N + 3;
75 = N2z + N
    • Выразим z:
      • z = (72 - N)/N2
    • Учитывая то, что z — целое неотрицательное число, то 72 — N должно быть кратно N2, т.е. в числителе не может быть простого числа.
    • Простое число 67 получается путем вычитания из 72 числа 5. Соответственно, 5 нам не подходит: N ≠ 5:
      • 72 - 5 / 52 = 67 / 25  не делится, - не подходит!
    • Еще одно простое число — 71 получится при вычитании 72 — 1. Единица не подходит, так как при переводе в конце числа никак не останется 13: N ≠ 1.
    • Раз в знаменателе N2, то отбросим все числа, квадрат которых больше 72: 9, 10, … и т.д. до бесконечности: N < 9
    • Раз в итоговом числе есть число 13, значит основание системы счисления больше 3 (т.е. цифра три присутствует в системах, начиная с 4-й): N >= 4
    • Проверим оставшиеся варианты — 4, 6, 7, 8:
      •  75 | 4 
 72 | 18| 4 
  3   16| 2
       2  => не подходит! должна быть единица

       75 | 6 
 72 | 12| 6 
  3   12| 1
       0  => не подходит! должна быть единица

       75 | 7 
 70 
  5 => не подходит! должна быть 3 

       75 | 8 
 72 | 9| 8 
  3   8| 1
       1  => подходит!

    📹 Видео (аналитический способ)
    📹 Видеорешение на RuTube здесь

    Задание 14_11:
    14_11:

    Выражение 25*325 записано в троичной системе счисления. Определите, сколько в этой записи цифр 0, 1 и 2.

    Ответ: «0»=26, «1»=2, «2»=1

    Показать решение:

      Рассмотрим каждый сомножитель отдельно.

    • Первый сомножитель:
      • 25 = 32

Переведем в троичную систему счисления (делением на 3, переписываем остатки).
Результат:
3210 = 10123
    • Для рассмотрения второго сомножителя будем использовать правило:

    • Получим:
      • 325 = 10..0{25 нулей}3
    • Выполним произведение, но для простоты счета, представим, что нулей не 25, а только 3:
      •    1000 x
   1012 =
   ----
   2000
  1000
 0000
1000
-------
1012000
    • В исходном числе было 3 нуля, стало 4. Значит если было 25 нулей, то станет 25 + 1 = 26.
    • Единиц = 2, двоек = 1.

    📹 Видео (аналитическое решение)
    📹 Видеорешение на RuTube здесь

    Один комментарий

      Malbaro27

      16 мая, 2021 в 11:59

      a = []
      x = 2 ** 5 * 3 ** 25
      while x > 0:
      a.append(x % 3)
      x = x // 3
      a.reverse()
      print(a)

      Некоторые задания можно решать через python, используя word для подсчета нужного числа.

      Ответить

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    *
    *

    Вставить формулу как
    Блок
    Строка
    Дополнительные настройки
    Цвет формулы
    Цвет текста
    #333333
    Используйте LaTeX для набора формулы
    Предпросмотр
    \({}\)
    Формула не набрана
    Вставить