Информатика ЕГЭ 16 задание разбор

Дата изменения: 22 июня 2020
16-е задание: «Операции в системах счисления»
Уровень сложности — повышенный,
Максимальный балл — 1,
Примерное время выполнения — 2 минуты.

16_7: Разбор задания 16 ЕГЭ по информатике (с сайта К. Полякова, вариант 36):

Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 3.

Типовые задания для тренировки

Ответ: 13

Показать решение:

  • Для начала достаточно перевести первое и последнее число предложенного интервала в троичную систему счисления. Сделаем это:
  • 1.
     13 | 3 
     12   4 | 3 
      1   3   1   
          1
    1310 = 1113
    
    2.
    23 | 3 
    21   7 | 3 
    2    6   2
         1
    2310 = 2123
    
  • Теперь добавим промежуточные числа в троичной системе счисления (прибавляя единицу к каждому очередному полученному числу), не забывая, что в троичной системе всего три цифры (0, 1 и 2):
  • 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212
  • На всякий случай стоит посчитать количество полученных чисел и сравнить их с количеством чисел в исходной последовательности.
  • Теперь осталось посчитать количество цифр 2 в полученной последовательности. Их 13:
  • 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212

Разбор 16 задания ЕГЭ по информатике 2019 г. «10 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» Д.М. Ушаков:

Решите уравнение:

204N+1 = 204N + 2616

В ответе укажите значение переменной N.

Типовые задания для тренировки

Ответ: 9

Показать решение:

  • Разделим уравнение на три части и вычислим каждую часть отдельно (выделим части разным цветом):
  • 204N+1 = 204N + 2616
     1       2     3 
    
  • Используем формулу разложения числа по степеням основания:
  • 1. 
    210
    204N+1
    
    По формуле получаем:
    2*(N+1)2 + 0*(N+1)1 + 4*(N+1)0 =
    = 2*(N2 + 2N + 1) + 0 + 4 = 2N2 + 4N + 6
    
  • Выполним то же самое для остальных двух частей:
  • 2.
    210
    204N
    
    По формуле получаем:
    2*N2 + 0*N1 + 4*N0 =
    = 2N2 + 4
    
    3.
    2616 = 3810
    
  • Подставим результаты всех частей в уравнение:
  • 2N2 + 4N + 6 = 2N2 + 4 + 38;
    4N = 36;
    N = 9
    

16_8: Разбор задания 16 ЕГЭ по информатике (с сайта К. Полякова, вариант 38):

Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение:

144 + 24 = 201

Типовые задания для тренировки

Ответ: 7

Показать решение:

  • Вместо обозначения искомой системы счисления введем неизвестное x:
  • 144x + 24x = 201x
  • Запишем формулу перевода в десятичную систему счисления каждого из слагаемых и сумму исходного равенства:
  • 144 + 24 = 201
    1*x2 + 4*x1 + 4*x0 + 2*x1 + 4*x0 = 2*x2 + 0*x1 + 1*x0
    
  • Упростим полученное уравнение:
  • x2 - 6x - 7 = 0
  • Решим уравнение:
  • D = b2 - 4ac = 36 - 4*1*(-7) = 64
    x = (-b ± √D)/2a
    x1 = (6 + 8)/2 = 7
    x2 = (6 - 8)/2 - не подходит
    x = 7
    

16_9: Разбор задания 16 ЕГЭ по информатике (с сайта К. Полякова, вариант 75):

В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 68 и 94 заканчиваются на 3. Определите основание системы счисления.

Типовые задания для тренировки


Ответ: 13

Показать решение:

  • Вспомним правило:
  • Последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием X — это остаток от деления этого числа на X
  • Примем искомую систему счисления за x. Тогда, исходя из приведенного правила имеем:
  • 94 / x = некоторое число и остаток 3
    и
    68 / x = некоторое число и остаток 3
    
  • Поскольку x должно быть целым числом, то следующее деление должно выполняться без остатка:
  • 91/x 
    65/x
  • Иными словами x — наибольший общий делитель чисел 91 и 65.
  • Найдем НОД, например, по алгоритму Евклида:
  • 91 - 65 = 26
    65 - 26 = 39
    39 - 26 = 13
    26 - 13 = 13 
    
  • Получаем результат 13.

16_10: Разбор задания 16 ЕГЭ по информатике (с сайта К. Полякова, вариант 137):

Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *:

X = *516 = *0*8

Сколько чисел соответствуют условию задачи?

Типовые задания для тренировки


Ответ: 3

Показать решение:

  • Данные числа с утерянными символами переведем из 16-й и из 8-й системы счисления в двоичную. Перевод будем делать триадами и тетрадами, неизвестные позиции оставим пустыми:
  • 1. *516
        *   |    5  16
    
    * * * * | 0 1 0 1 2
    
    2. *0*8
      *  |  0  |  *  8
    * * *|0 0 0|* * * 2
    
  • Сопоставим известные и неизвестные биты в обеих получившихся масках:
  • * * 0 0 0 1 0 1
  • Неизвестными остались 7-й и 8-й бит. Они не могут быть одновременно нулями, так как для *0*8 тогда исчезнет старший разряд. Поэтому оставшиеся варианты будут такими:
  • 1. 01000101
    2. 10000101
    3. 11000101
  • Итого 3 варианта.

Задание 16_4:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 13.

Типовые задания для тренировки

Ответ: 8,72

Показать решение:

  • Так как 75 должно оканчиваться на 13, то имеем два общих случая:
  • 1. 7510 = 13N 
    2. 7510 = ...13N (число оканчивается на 13)
    
  • Рассмотрим подробно каждый случай.
  • 1 случай:

  • Остаток должен быть равен 3 (последнее число в неизвестной системе), а частное должно равняться 1 (предпоследнее число в неизвестной системе):
  •  75|N 
      N|1  отсюда имеем => 75 - N = 3; т.е. N = 72
      3
    
  • Таким образом, мы получили одно из искомых оснований (72).
  • 2 случай:

  • Искомое оканчивается на цифру 3, значит:
  •  75|N 
     72|y  отсюда имеем => 75 = Ny + 3, где N - целое, неотриц.
      3
    
  • и далее, частное от деления — 1 (предпоследнее число):
  •  75|N  
     72|  y |N   => y = Nz + 1, где z - целое, неотриц.
      3  y-1|z
           1
    
  • Получаем два равенства (систему уравнений):
  • 75 = Ny + 3
    y = Nz + 1
    
  • Подставим y из второго равенства в первое:
  • 75 = N (Nz + 1) + 3;
    75 = N2z + N + 3;
    75 = N2z + N
  • Выразим z:
  • z = (72 - N)/N2
  • Учитывая то, что z — целое неотрицательное число, то 72 — N должно быть кратно N2, т.е. в числителе не может быть простого числа.
  • Простое число 67 получается путем вычитания из 72 числа 5. Соответственно, 5 нам не подходит: N ≠ 5:
  • 72 - 5 / 52 = 67 / 25  не делится, - не подходит!
  • Еще одно простое число — 71 получится при вычитании 72 — 1. Единица не подходит, так как при переводе в конце числа никак не останется 13: N ≠ 1.
  • Раз в знаменателе N2, то отбросим все числа, квадрат которых больше 72: 9, 10, … и т.д. до бесконечности: N < 9
  • Раз в итоговом числе есть число 13, значит основание системы счисления больше 3 (т.е. цифра три присутствует в системах, начиная с 4-й): N >= 4
  • Проверим оставшиеся варианты — 4, 6, 7, 8:
  •  75 | 4 
     72 | 18| 4 
      3   16| 2
           2  => не подходит! должна быть единица
    
     75 | 6 
     72 | 12| 6 
      3   12| 1
           0  => не подходит! должна быть единица
    
     75 | 7 
     70 
      5 => не подходит! должна быть 3 
    
     75 | 8 
     72 | 9| 8 
      3   8| 1
           1  => подходит!
    

📹 Видео


16_11: Разбор задания 16 ЕГЭ по информатике (с сайта К. Полякова, вариант 221):

Выражение 25*325 записано в троичной системе счисления. Определите, сколько в этой записи цифр 0, 1 и 2.


Ответ: «0»=26, «1»=2, «2»=1

Показать решение:

    Рассмотрим каждый сомножитель отдельно.

  • Первый сомножитель:
  • 25 = 32
    
    Переведем в троичную систему счисления (делением на 3, переписываем остатки).
    Результат:
    3210 = 10123
    
  • Для рассмотрения второго сомножителя будем использовать правило:
  • Получим:
  • 325 = 10..0{25 нулей}3
  • Выполним произведение, но для простоты счета, представим, что нулей не 25, а только 3:
  •    1000 x
       1012 =
       ----
       2000
      1000
     0000
    1000
    -------
    1012000
    
  • В исходном числе было 3 нуля, стало 4. Значит если было 25 нулей, то станет 25 + 1 = 26.
  • Единиц = 2, двоек = 1.

📹 Видео


Задание 16 ЕГЭ по информатике 2017 ФИПИ вариант 3 (Крылов С.С., Чуркина Т.Е.):

Значение арифметического выражения:
21024 + 464 — 64
записали в системе счисления с основанием 2.

Сколько цифр «1» содержится в этой записи?
  
Типовые задания для тренировки
Типовые задания для тренировки

Ответ: 123

Показать решение:

  • Существует правило:
  • 2N = 10..02(1 единица и N нулей)
  • Чтобы воспользоваться этим правилом, преобразуем общее выражение к степеням двойки:
  • 21024 + (22)64 - 26 = 21024 + 2128 - 26
  • При переводе в двоичную систему получим:
  • 10...0 (1024 нуля) + 10...0 (128 нулей) - 10...0 (6 нулей)
  • Обратим внимание, что разница между числами большая. Т.е. при выполнении сложения в столбик, единицы в одном и том же разряде быть не могут. Так:
  •  10....00000  - 1024 нуля
    +
           10..0  - 128 нулей
    _________________________
     10....10..0  
    
  • Из первого слагаемого 10…0 (1024 нуля) запомним одну единицу в старшем бите, остальные нули нас не интересуют, так как далее мы воспользуемся другим правилом — для разницы:
  •  10....00000  - 1024 нуля
    +
           10..0  - 128 нулей
    _________________________
     10....10..0  - запомним единицу
    
  • Существует также правило:
  • 2N — 2K = 1…1 (N - K единиц)0…0(K нулей)
  • По формуле выполним вычитание 2128 — 26: получим 1..1 (122 единицы) 0..0(6 нулей):
  •  10..0000000  - 128 нулей
    -
         1000000  
    _________________________
     11..1000000  - 122 единицы и 6 нулей
    
  • Прибавим к 122 получившимся единицам еще одну из первого слагаемого (10…0 (1024 нуля)) и получим:
  • 122 + 1 = 123 единицы

📹 Видео


16 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Значение арифметического выражения:
4910 + 730 – 49
записали в системе счисления с основанием 7.

Сколько цифр «6» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

Ответ: 18

Показать решение:

  • Приведем все числа к степеням 7:
  • 720 + 730 - 72
  • Расставим операнды выражения в порядке убывания степеней:
  • 730 + 720 - 72
  • Вспомним две формулы для работы со системами счисления:
  • 1.
    an = 10..0a
           n
    2.
    an - am = (a-1)..(a-1)0..0a
                  n-m       m
    
  • Переведем первое число согласно формуле 1:
  • 730 = 10..0
            30
    
  • В данном числе нет цифры 6, как и в остальных числах.
  • Цифра 6 появляется при выполнении вычитания.
  • Подсчитаем все «6», используя формулу 2:
  • 0 + (20 - 2) = 18
    
  • Получаем шестерок: 18

Результат: 18

📹 Видео


Задание 16 ЕГЭ по информатике 2017 ФИПИ вариант 5 (Крылов С.С., Чуркина Т.Е.):

Значение арифметического выражения:
4500 + 3*42500 + 16500 — 1024
записали в системе счисления с основанием 4.

Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

Ответ: 496

Показать решение:

Результат: 496

📹 Видео


Разбор 16 задания ЕГЭ по информатике, вариант 2 (ФИПИ, «ЕГЭ информатика и ИКТ, типовые экзаменационные варианты 2018», 10 вариантов, С.С. Крылов, Т.Е. Чуркина):

Значение арифметического выражения: 81024 + 832 – 65 – записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки


Ответ: 31

Показать решение:

  • Приведем все числа к степеням восьмерки:
  • 65 = 64 + 1 = 82 + 80;
  • Получаем:
  • 81024 + 832 - (82 + 80);
    81024 + 832 - 82 - 80
    
  • Вспомним две формулы для работы с системами счисления:
  • 1.
    an = 10..0a
           n
    2.
    an - am = (a-1)..(a-1)0..0a
                  n-m       m
    
  • Переведем первое число согласно формуле 1:
  • 81024 = 10..0
            1024
    
  • В данном числе нет цифры 7, как и в остальных числах.
  • Цифра 7 появляется при выполнении вычитания. У нас два таких действия, идущих подряд. Это неудобно. Необходимо, чтобы действия чередовались (a + b — c + d — e…)
  • Вспомним еще одну формулу:
  • 3.
    
    -2n = -2n+1 + 2n
    ! Формула предназначена для чисел в двоичной системе счисления, но для подсчета цифр "7" в 8-й (или "6" в 7-й и т.п.) ее можно использовать (для поиска единиц или нулей она не подходит!!!)
  • В нашем случае заменим часть выражения:
  • -82 = -83 + 82
    ! обратите внимание, что тождество неверно, но
    при поиске количества "7" этой формулой можно воспользоваться
    (для поиска единиц или нулей она не подходит!)
    
    
    Получаем:
    
    81024 + 832 - 83 + 82- 80
    
  • Получили чередование операций «+» и «-«.
  • Теперь посчитаем все «7», используя формулу 2:
  • 0 + (32 - 3) + (2 - 0) = 31
    
  • Получаем семерок: 31

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*


Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить